Eksamensgenrer, Matematik B
Eksamensprojekt
Det centralt stillede eksamensprojekt består af 3-4 opgaver inden for et fælles tema. Hver opgave indeholder et antal spørgsmål. I en af opgaverne skal man indtaste sin fødselsdato, og derefter genereres de talværdier, der skal benyttes i nogle af de efterfølgende spørgsmål. Man regner således med forskellige tal og får forskellige resultater, men det er vigtigt at huske, at projektet skal laves individuelt. Nogle spørgsmål er åbne, dvs. man skal selv bestemme hvad man vil regne på, eller man skal selv formulere spørgsmålet eller fastlægge de nødvendige forudsætninger.
I modsætning til projekterne fra undervisningen forventes det ikke, at man har et teoriafsnit.
Matematikprojekterne fra undervisningen
Et matematikprojekt er en større åben opgave, hvor man selv skal tage stilling til dele af opgavens forudsætninger og indhold. Besvarelsen indeholder en del, hvor anvendt teori behandles (teoriafsnit).
Prøven i matematik B er en projektprøve, der består af en skriftlig og en mundtlig del. Den skriftlige del er eksamensprojektet beskrevet ovenfor. Der er afsat 12 timers uddannelsestid, hvor man med vejledning fra en lærer laver projektet. Ved den mundtlig del af prøven skal eksamensprojektet kort præsenteres, og man skal besvare spørgsmål om konkrete beregninger. Denne del må højst tage 1/3 af tiden. Herudover trækker man kendt opgave, der tager udgangspunkt i et af projekterne fra undervisningen og handler om noget af den teori, der benyttes i projektet. Endelig trækker man en ukendt opgave med spørgsmål i de matematiske mindstekrav. Disse spørgsmål skal løses i forberedelsestiden og ved den mundtlige del af prøven kan man blive bedt om at vise løsningen på en eller flere mindstekravsopgaver.
For den mundtlige del af prøven er eksaminationstiden ca. 30 minutter. Der gives ca. 60 minutters forberedelsestid.
Eksamensgenrer, Matematik A
5-timers skriftlig prøve
Den skriftlige prøve består af to dele. Første del varer 1 time, og her må man alene benytte papir og blyant samt en udleveret formelsamling. Når man har afleveret sin besvarelse, kan man begynde på 2. delprøve og her benytte alle hjælpemidler - også selvom der ikke er gået 1 time. Anden del varer 4 timer, og her er alle hjælpemidler er tilladte. Opgaverne kræver brug af matematikprogram eller lommeregner. En del af opgaverne omhandler stoffet fra et forberedelsesmateriale, som man har arbejdet med i 10 timer på to dage op til prøven. Resten af opgaverne tager udgangspunkt i den matematik, man har arbejdet med igennem alle tre år. Ca. 7-8 opgaver er mindstekravsopgaver, som er markeret med grønt. Det er opgaver, som man forventer eleverne har lettest ved at regne, og som sikre beståelse, hvis alle er lavet korrekt. De stillede opgaver er af samme type som de opgaver, der bruges ved terminsprøver, og som ofte også bruges som hjemmeopgaver.
I besvarelsen er det er vigtigt, at tankegangen klart fremgår, samt at der ved hver enkelt opgave er en forbindende tekst, som forklarer, hvordan løsningen er fundet. Ligeledes er det vigtigt, at hvert spørgsmål afrundes med en præcis konklusion. Brug altid korrekt matematisk notation. Dokumentationen af de enkelte beregninger kan gøres ved brug af it-værktøjer i programmets syntaks og/eller mellemregninger samt med forklarende tekst. Endeligt er det vigtigt at benytte figurer og illustrationer, der hænger sammen med teksten.
Matematikprojekterne fra undervisningen
Et matematikprojekt er en større åben opgave, hvor man selv skal tage stilling til dele af opgavens forudsætninger og indhold. Besvarelsen indeholder en del, hvor anvendt teori behandles. Projekterne anvendes ved den mundtlige prøve, hvor et af spørgsmålene handler om noget af den teori, der benyttes i projektet. Det er derfor vigtigt med et godt teoriafsnit. Produktet kan være en rapport, en planche, en videoaflevering eller lignende.
Ved den mundtlige prøve trækker man en kendt opgave med 2-3 delspørgsmål samt et ukendt bilag. Mindst et af spørgsmålene handler om et projekt fra undervisningen og den teori, der knytter sig til det.
Eksaminationstiden er 30 min. og der er 30 min. forberedelsestid.
Besvarelse af eksamensprojektet i matematik B
Ved projektprøven i matematik B er opbygningen af rapporten lidt anderledes end ved de "almindelige" projekter fra undervisningen. Man kan med fordel begynde med en Indledning, hvor man kort beskriver projektets tema, efterfulgt af en sammenhængende opsummering af (nogle af) de problemstillinger, der bliver arbejdet med.
Projektet er opdelt i ca. 4 opgaver, der alle handler om det samme emne. I 2018 var emnet Luftballon. Den første opgaver er altid en angivelse af ens fødselsdag sammen med de tal, der kommer frem ved indtastningen af denne i det tilhørende program. De enkelte delspørgsmål besvares. Det er vigtigt at huske skitser, grafer etc. med de korrekte betegnelser, som anvendes i teksten. Det gør dokumentationen meget nemmere at læse. Det er helt i orden at bruge matematikprogram eller lommeregner til beregningerne og opskrive disse med programmets syntaks, MEN det er vigtigt, at man først skriver den matematik, der skal behandles (ligninger, vektorer, differentiationer etc.) med korrekt matematisk notation – på samme måde, som det ser ud i matematikbogen. Man kan med fordel formulere svaret på hvert enkelt spørgsmål i en afsluttende sætning, fx ”Husets højde er 8,3 m”.
Nogle af opgaverne er mere frie, og her skal man selv antage nogle af forudsætningerne for beregningerne, eller man skal formulere sine egne spørgsmål, der kan belyse det emne, opgaven handler om. Start med at beskrive de overvejelser, du har gjort dig, og hvilke antagelser man må gøre sig. Prøv så vidt muligt at inddrage forskellige områder/metoder af den matematik, der er berørt i undervisningen, fx forskellige funktionstyper, trigonometri, vektorregning m.m. Igen er det vigtigt med figurer og grafer.
Eksempel
Her ses et eksempel på en elevbesvarelse af en vurderingsopgave i eksamensprojektet i matematik B.
Opgavens ordlyd ses under billedet af togvognen øverst i dokumentet:
Der benyttes illustrationer, hvor tekst og figur passer sammen.
Formler opskrives inden indsættelse, og beregningerne er godt forklaret i teksten.
Resultaterne vurderes.
Den benyttede matematik er tydeligt fremhævet.
Der vises både "håndregning" og brug af matematikprogram.
Korrekt matematisk notation igennem det meste af besvarelsen (der mangler lidt vektorpile).
Besvarelse af projekter i matematik
Besvarelsen af projekter i matematik kan have mange former: rapport, planche, artikel m.m. Når besvarelsen er en rapport, anbefales det, at den indeholder følgende hovedafsnit:
Eventuelt en Indledning: Indledningen fungerer som en appetitvækker. Her er det muligt at sætte opgaven ind i en større sammenhæng. Man kan fortælle, hvad man ved om emnet, og hvorfor det er interessant at arbejde med. Man skal kun skrive en indledning, hvis man har noget på hjerte – og lav den ikke for lang!
Opgaveanalyse: For at kunne løse en projektopgave er det væsentligt at have styr på forudsætningerne. Man skal derfor læse oplægget meget grundigt igennem. Derefter laver man en beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger der er givet. Hvis der f.eks. mangler oplysninger, for at opgaven kan besvares, kan det være nødvendigt, at man selv må formulere nogle antagelser eller må indhente relevante oplysninger.
Løsningsmodel: Efter at man har læst selve opgaverne igennem, er det nyttigt at gøre sig klart, hvordan man har tænkt sig at gribe dem an. Man formulerer derfor en handlingsplan for, hvordan man forventer at kunne løse hver enkelt opgave. Samtidig angiver man kort, hvilken matematisk teori der skal anvendes.
Dokumentation: Her skal selve opgaven løses, og alle udregninger dokumenteres, beskrives og evt. illustreres. Når man bruger lommeregneren eller computeren til beregninger, er det vigtigt hele tiden at forklare, hvilke formler etc. man bruger, hvorfor det er disse formler, man anvender, og om forudsætningerne for at bruge dem er opfyldt.
Vurdering: En diskussion af den fundne løsning i relation til opgaven. Ved at reflektere over resultaterne kan mange fejl opdages. Sommetider vil man lave en model (forenklet beskrivelse) af virkeligheden, og så skal man vurdere, hvor god modellen er. Man kan evt. beskrive, hvornår den bryder sammen.
Matematiske elementer: Her skal den benyttede teori beskrives. Hvilke sætninger er brugt? Anfør gerne beviser. Husk, at dette afsnit er udgangspunktet til mundtlig eksamen!
Det er vigtigt, at besvarelsen kan læses og forstås, selv om læseren ikke kender opgaven på forhånd.
PowerPoint som præsentationsform i matematik
Benytter man en præsentationsform som PowerPoint i matematik, skal man være opmærksom på formens styrker og svagheder. Det kan være rigtig godt at have en præsentation at støtte sig til, og man har mulighed for at linke til animationer, film, beregninger m.m. Omvendt skal man passe på, at man ikke ender med blot at læse det op, man på forhånd har besluttet sig for at præsentere. Det kan nemlig være vanskeligt at "gå ud ad en tangent", hvis man under præsentationen får en god idé, som man gerne vil forfølge. Her skal man ikke være bange for at forlade sin præsentation for en stund og benytte tavlen.
Eksempler
Her er vist et eksempel på en præsentation af et matematisk område: integralregning. Eksemplet kan hentes både i en pdf-version og en ppt-version, hvor der ses lidt flere "effekter".
Planche som dokumentation for matematikprojekt
Som et alternativ til den traditionelle matematikrapport kan man fx lave en planche eller en plakat, der dokumenterer arbejdet. Afhængig af projektoplægget er det her naturligvis vigtigt at lave en målgruppeanalyse. Hvem henvender planchen sig til? Hvilke oplysninger skal man kunne få fra den?
Da projektet er udgangspunktet for den mundtlige prøve, er det vigtigt, at planchen indeholder noget teoretisk matematik. For at undgå at den bliver for tung at læse, vil det ofte kun være muligt at medtage nogle hovedpunkter, men her kan man i stedet vedlægge et dokument, hvor teorien er nøjere gennemtænkt og beskrevet.
Matematikopgaver
I løbet af uddannelsen regnes der et antal skriftlige opgaver. Nogle af dem afleveres som hjemmeopgaver og bliver rettet og kommenteret af en lærer. På A-niveau afsluttes faget med en 5-timers skriftlig prøve, der består af opgaver af samme type som (mange af) hjemmeopgaverne.
I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er:
- Anvendt matematisk teori og metoder til løsning
- En forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation.
- Dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt forklarende tekst.
- Benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
Klik videre og se eksempler på eksamensopgaver, og hvordan de kan besvares.
Eksempler
Her vises først nogle konkrete (eksamens)opgaver i matematik og derefter den tilhørende elevbesvarelse.
I opgave 3 benytter eleven matematikprogrammet på en meget hensigtsmæssig måde. Der er gode forklaringer og illustrationer. En del af opgaven kunne alternativt være lavet i Geogebra og derefter være sat ind i Mapledokumentet
I opgave 4 benytter eleven Geogebra, til at skitsere situationen. Eleven forklarer desuden fint sine ræsonnementer, som fører til resultatet.
I spørgsmål 2 argumenteres fint for hvorfor den afledede af stamfunktionen bare er den oprindelige funktion. Der forklares hvordan værdien derfor kan aflæses på figuren. Derefter gentages (denne gang med symboler) at F'(4) er det samme som f(4), hvorefter den aflæste værdi angives.
Derefter gør eleven klart rede for løsningsstrategien (at løse en ligning) og forklarer endda hvorfor den er korrekt.
Ligningen ændres (måske en smule for hurtigt) til en enklere ligning, idet der meget elegant redegøres for at man kan nøjes med at løse den enkle ligning.
Idet eleven bemærker at den nye ligning er en andengradsligning demonstreres der overblik over problemet, og der antydes at der er tale om et standardproblem med en standardløsning.
Herefter løses andengradsligningen ved at omskrive den til en simpel ligning ved ”færdiggørelse af kvadrat”-metoden. Her demonstreres fin anvendelse af symboler og formalisme (korrekte parenteser, potensopløftninger, brøker osv.)
Løsningerne til ligningen findes først eksakt og opskrives så pænt som muligt. (Kvadratroden af 5 er irrational og kan derfor ikke skrives enklere). Bagefter udregnes de to løsninger om tilnærmede (komma-) talværdier. Dette er vigtigt for at kunne vurdere hvor store de to tal er.
Til sidst opsummeres resultatet, idet skæringspunkterne præsenteres som rigtige punkter, og eleven vurderer at resultatet er korrekt ved at sammenligne med grafen.
Mindstekravsopgaver
Mindstekrav er indført i matematik for at sikre, at man som elev er klar over, hvad der som minimum forventes, for at bestå matematik på et givet niveau. For at få en fornemmelse af hvad mindstekravene er, kan du se eksempler på mindstekravsopgaver ved at klikke videre.
På B-niveau testes mindstekravene ved hjælp af de ukendte opgaver, som man får ved forberedelsestidens begyndelse. Disse opgaver skal laves i forberedelsen, og man kan blive stillet til regnskab for løsningen under den mundtlige prøve.
På A-niveau teste mindstekravene ved den skriftlige prøve, hvor 7-8 opgaver i 5-timersprøven er "mindstekravsopgaver". Disse opgaver er markeret med grønt. Har man dem rigtige vil man få mindst 02. Det betyder ikke, at man ikke kan bestå, hvis mindstekravsopgaverne ikke er lavet korrekt. Så skal man i stedet have regnet nok andre opgaver. Nogle mindstekravsopgaver ligger i 1. delprøve og tester grundlæggende færdigheder med papir og blyant. Andre ligger i 2. delprøve og viser, hvad man forventes at kunne gøre med et computerprogram.
Eksempler
Nedenfor ses eksempler på mindstekravsopgaver i såvel matematik B som matematik A.